Geometria 3

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Geometria 3

Crediti

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Propedeuticità

Geometria 2.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/03 Geometria.

Modalità dell’esame

Superamento di una prova orale.

Obiettivi
formativi

Gli obiettivi del corso sono:

  • sviluppare e approfondire in maniera critica alcuni temi di topologia generale;
  • acquisire gli strumenti preliminari fondamentali per lo studio delle varietà topologiche;
  • discutere le principali tecniche dimostrative negli ambii descritti nei punti precedenti;
  • acquisire la capacità di contestualizzare le nozioni apprese e i risultati più importanti, in un contesto più applicativo.

Programma

Richiami di topologia generale. Spazi connessi. Spazi compatti. Immersioni e sottospazi. Gruppi topologici. Esaustioni in compatti. Identificazioni e topologia quoziente. Quozienti per gruppi di omomorfismi. Varietà topologiche. Spazi localmente connessi. Il funtore p0. Omotopia. Retrazioni e deformazioni. Omotopia tra cammini. Il gruppo fondamentale. Il funtore p1. Semplice connessione della sfera. Omeomorfismi locali. Rivestimenti. Quozienti per azioni propriamente discontinue. Sezioni. Sollevamento dell’omotopia. Il teorema di Brouwer e Borsuk. Un esempio di gruppo fondamentale non abeliano. Monodromia del rivestimento. Azioni di gruppi su insiemi. Un teorema di isomorfismo. Sollevamenti di applicazioni qualsiasi. Rivestimenti regolari. Rivestimenti universali.

Risultati dell’apprendimento
attesi

al termine del corso, lo studente deve dimostrare di:

  • conoscere e comprendere gli argomenti trattati a lezione e avere una familiarità con il linguaggio della topologia generale e capacità di illustrare le principali tecniche di dimostrazione discusse;
  • saper applicare le conoscenze acquisite nello studio e nella risoluzione di problemi di varia complessità;
  • saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
  • saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Saranno valutate le conoscenze e le competenze acquisite sui temi sviluppati durante il corso, la padronanza degli strumenti matematici utilizzati, la capacità di esposizione e proprietà di linguaggio, l’abilità nell’applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi, e la capacità di contestualizzare queste stesse conoscenze in ambiti più applicativi, la capacità di integrare una discussione con esempi e controesempi.