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Nessuna
MAT/03 Geometria
Prova scritta (esercizi e problemi numerici eventualmente a risposta multipla) e prova orale.
L’insegnamento si propone l’obiettivo di introdurre e formalizzare i concetti fondamentali dell’algebra lineare e della geometria euclidea. In particolare s’intende far comprendere come sia possibile ridefinire mediante l’algebra lineare le principali proprietà d’incidenza tra punti, rette e piani, e le nozioni di distanza tra punti e di angolo e ortogonalità tra rette e piani.
Strutture geometriche ed algebriche. Spazi vettoriali. Relazioni d’equivalenza e vettori liberi. Spazi vettoriali numerici e prodotto scalare standard. Dipendenza lineare, generatori, basi e dimensione. Sottospazi. Teorema di Grassmann. Matrici. Matrice trasposta. Rango di una matrice. Prodotto righe per colonne. Il determinante di una matrice quadrata. Metodi di calcolo. Teoremi di Laplace, di Binet e degli Orlati. Operazioni elementari sulle righe (o colonne) di una matrice. Metodi di triangolazione. Questioni di invertibilità. Sistemi di equazioni lineari. Compatibilità, sistemi equivalenti. Teoremi di Rouché-Capelli e di Cramer. Calcolo delle soluzioni di un sistema compatibile. Sistemi parametrici. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Monomorfismi, epimorfismi ed isomorfismi. L’isomorfismo coordinato. Matrice associata ad una applicazione lineare. Endomorfismi, autovalori, autovettori ed autospazi. Il polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione di un endomorfismo e di una matrice. Il Teorema Spettrale. Applicazioni e forme bilineari. Prodotti scalari. Angoli e distanze. Spazi vettoriali euclidei. Matrici ortogonali e basi ortonormali. Diagonalizzazione ortogonale. Spazi e sottospazi affini. Geometria del piano. Rappresentazione parametrica e cartesiana della retta. Fasci di rette. Cenni su questioni affini ed euclidee nel piano. Geometria dello spazio. Rappresentazione parametrica e cartesiana della retta e del piano. Fasci di piani. Cenni su questioni affini ed euclidee nello spazio: parallelismo, ortogonalità e incidenza tra rette, tra piani, e tra una retta ed un piano. Il problema della comune perpendicolare. Ampliamento proiettivo e complesso dello spazio affine/euclideo. Studio delle coniche: punti doppi, polarità, classificazione. Diametri, asintoti, assi, centro, vertici e fuochi.
al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di:
Si valuteranno la padronanza degli strumenti matematici utilizzati, la capacità di esposizione e proprietà di linguaggio dello studente, nonché la capacità di integrare una discussione con esempi e controesempi, l’abilità nell’applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi geometrici, e, infine, la capacità di contestualizzare queste stesse conoscenze in ambiti più applicativi.
