Geometria 2

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Geometria 2

Crediti

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Propedeuticità

Geometria 1.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/03 Geometria.

Modalità dell’esame

Prova scritta (esercizi e problemi numerici eventualmente a risposta multipla) e prova orale.

Obiettivi
formativi

Gli obiettivi del corso sono:

  • sviluppare i concetti basilari della geometria proiettiva e della topologia generale;
  • acquisire un linguaggio matematico rigoroso;
  • acquisire la capacità di risoluzione di esercizi standard;
  • acquisire capacità di contestualizzare le nozioni apprese in un ambito applicativo.

Programma

Topologia generale. Definizione di spazio metrico, definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi. Topologia prodotto e topologia quoziente. Assiomi di separazione. Connessione, connessione per archi. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.
Spazi proiettivi. Definizione, riferimenti, sottospazi e loro rappresentazione, relazione di Grassmann. Omografie. Ampliamento proiettivo di uno spazio affine, sottospazi propri ed impropri, coordinate omogenee. Affinità. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche. Quadriche di uno spazio proiettivo complesso. Studio delle proprietà affini, proiettive e metriche di una quadrica reale. Polarità. Classificazione affine, proiettiva e topologica di una quadrica reale.

Risultati dell’apprendimento
attesi

Al termine dell’insegnamento, lo studente deve dimostrare di

  • conoscere e comprendere i contenuti indicati nel programma; avere una buona capacità di esporli, discuterli e contestualizzarli anche in ambiti diversi da quello geometrico.
  • saper applicare le conoscenze acquisite attraverso la padronanza delle tecniche di dimostrazione, e la capacità di discutere eventuali applicazioni di un teorema;
  • saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
  • saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Saranno valutate le conoscenze e le competenze acquisite sui temi sviluppati durante il corso, la padronanza degli strumenti matematici introdotti, la capacità di esposizione e la proprietà di linguaggio, l’abilità nell’applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di semplici problemi, e la capacità di contestualizzare queste stesse in contesti applicativi; infine, sarà valutata la capacità di integrare una discussione con esempi e controesempi.