Probabilità e Statistica

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Probabilità e Statistica

Crediti

9

Propedeuticità

Analisi Matematica 2.

Settore scientifico-disciplinare

MAT/06 Probabilità e Statistica Matematica.

Modalità dell’esame

Prova orale.

Obiettivi
formativi

L’insegnamento intende fornire agli studenti una esposizione rigorosa, dal punto di vista matematico, di contenuti di base delle discipline, attraverso una precisa definizione dei concetti e un accurato studio dei risultati e delle loro dimostrazioni.

Programma

La legge empirica del caso. Frequenza empirica e probabilità. Probabilità a priori. Probabilità geometrica (cenni). Definizione di probabilità soggettiva. Elementi di calcolo combinatorio. Lo spazio probabilizzabile e la struttura degli eventi. Spazio campione di Bernoulli. Successioni e loro limiti. La misura di probabilità. Indipendenza di eventi. Lemma di Borel-Cantelli. Legge 0-1. Probabilità condizionate. Insiemi di alternative. Formula delle alternative. Teorema di Bayes. Definizione di variabile aleatoria. La funzione di distribuzione e le sue proprietà. Variabili aleatorie discrete notevoli: di Bernoulli, binomiale, geometrica, uniforme, degenere, di Poisson (come limite di binomiali). Variabili aleatorie assolutamente continue notevoli: uniforme, esponenziale, normale. Trasformazioni di variabili aleatorie. Variabili aleatorie multidimensionali. Indipendenza di variabili aleatorie. Somme, prodotti e rapporti di variabili aleatorie. Momenti di variabili aleatorie unidimensionali e loro proprietà. Momenti di funzioni di variabili aleatorie. Momenti di vettori aleatori e caso di variabili aleatorie indipendenti. Vettori bidimensionali. Proprietà della media e della varianza. Covarianza e coefficiente di correlazione. Variabili aleatorie standardizzate. Funzione generatrice di probabilità e funzione generatrice dei momenti e loro proprietà. Convergenza in legge o Distribuzione. Convergenza in Probabilità. La disuguaglianza di Čebyšëv. Il teorema di Bernoulli. La disuguaglianza di Schwarz e la disuguaglianza di Markov. Teoremi di convergenza. Campionamento e distribuzioni speciali. Stima puntuale e Proprietà degli stimatori. Metodi di costruzione degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della massima verosimiglianza con esempi.

Risultati dell’apprendimento
attesi

Al termine dell’insegnamento lo studente deve dimostrare di

  • conoscere e comprendere gli argomenti di base e i principali strumenti della teoria della probabilità e della statistica, nonché saper individuare e comprendere un modello probabilistico;
  • saper applicare le conoscenze acquisite schematizzando rigorosamente un fenomeno casuale e risolvendolo individuando i metodi più appropriati della probabilità e della statistica;
  • saper comunicare in maniera chiara, rigorosa ed efficace idee e soluzioni a interlocutori specialisti e non specialisti;
  • saper individuare i metodi più appropriati per analizzare e risolvere un problema inerente gli argomenti del corso e interpretare correttamente i risultati.

Risultati di apprendimento
che si intende verificare

Verifica della conoscenza dei contenuti del corso, padronanza del relativo linguaggio e delle tecniche utilizzate nelle dimostrazioni, rigore nell’esposizione. La capacità di utilizzare le nozioni acquisite per affrontare questioni teoriche di una rilevante complessità costituisce un ulteriore criterio di valutazione.